Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила 
Под действием этой силы скорость тела изменилась на 
Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением
Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:
Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).
Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной.
В новых терминах второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом:
Изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы.
Обозначив импульс тела буквой 
второй закон Ньютона можно записать в виде
Именно в таком общем виде сформулировал второй закон сам Ньютон. Сила в этом выражении представляет собой равнодействующую всех сил, приложенных к телу. Это векторное равенство может быть записано в проекциях на координатные оси:
 |
Модель. Импульс тела. |
Таким образом, изменение проекции импульса тела на любую из трех взаимно перпендикулярных осей равно проекции импульса силы на эту же ось. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т. е. движение тела по одной из координатных осей (например, оси OY). Пусть тело свободно падает с начальной скоростью υ0 под действием силы тяжести; время падения равно t. Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести Fт = mg за время t равен mgt. Этот импульс равен изменению импульса тела
Этот простой результат совпадает с кинематической формулой для скорости равноускоренного движения. В этом примере сила оставалась неизменной по модулю на всем интервале времени t. Если сила изменяется по величине, то в выражение для импульса силы нужно подставлять среднее значение силы Fср на промежутке времени ее действия. Рис. 1.16.1 иллюстрирует метод определения импульса силы, зависящей от времени.
|
Рисунок 1.16.1. Вычисление импульса силы по графику зависимости F(t) |
Выберем на оси времени малый интервал Δt, в течение которого сила F (t) остается практически неизменной. Импульс силы F (t) Δt за время Δt будет равен площади заштрихованного столбика. Если всю ось времени на интервале от 0 до t разбить на малые интервалы Δti, а затем просуммировать импульсы силы на всех интервалах Δti, то суммарный импульс силы окажется равным площади, которую образует ступенчатая кривая с осью времени. В пределе (Δti → 0) эта площадь равна площади, ограниченной графиком F (t) и осью t. Этот метод определения импульса силы по графику F (t) является общим и применим для любых законов изменения силы со временем. Математически задача сводится к интегрированию функции F (t) на интервале [0; t].
Импульс силы, график которой представлен на рис. 1.16.1, на интервале от t1 = 0 с до t2 = 10 с равен:
В этом простом примере
В некоторых случаях среднюю силу Fср можно определить, если известно время ее действия и сообщенный телу импульс. Например, сильный удар футболиста по мячу массой 0,415 кг может сообщить ему скорость υ = 30 м/с. Время удара приблизительно равно 8·10–3 с.
Импульс p, приобретенный мячом в результате удара есть:
Следовательно, средняя сила Fср, с которой нога футболиста действовала на мяч во время удара, есть:
Это очень большая сила. Она приблизительно равна весу тела массой 160 кг.
Если движение тела во время действия силы происходило по некоторой криволинейной траектории, то начальный 
и конечный 
импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. В этом случае для определения изменения импульса 
удобно использовать диаграмму импульсов, на которой изображаются вектора 
и , а также вектор 
построенный по правилу параллелограмма. В качестве примера на рис. 1.16.2 изображена диаграмма импульсов для мяча, отскакивающего от шероховатой стенки. Мяч массой m налетел на стенку со скоростью 
под углом α к нормали (ось OX) и отскочил от нее со скоростью 
под углом β. Во время контакта со стеной на мяч действовала некоторая сила направление которой совпадает с направлением вектора
|
Рисунок 1.16.2. Отскок мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов |
При нормальном падении мяча массой m на упругую стенку со скоростью 
,после отскока мяч будет иметь скорость 
. Следовательно, изменение импульса мяча за время отскока равно 
В проекциях на ось OX этот результат можно записать в скалярной форме Δpx = –2mυx. Ось OX направлена от стенки (как на рис. 1.16.2), поэтому υx < 0 и Δpx > 0. Следовательно, модуль Δp изменения импульса связан с модулем υ скорости мяча соотношением Δp = 2mυ.