Уравнения плоской и сферической волн
Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.
|
 . |
(5.2.1) |
Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом. Уравнение плоской волны Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: 
. Пусть колебание точек, лежащих в плоскости 
, имеет вид (при начальной фазе 
)
|
  |
(5.2.2) |
Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время 
. Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.
|
 , |
(5.2.3) |
– это уравнение плоской волны. Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания 
. Это будет, если энергия волны не поглощается средой. Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z. В общем виде уравнение плоской волны записывается так:
|
 , или  . |
(5.2.4) |
Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны. Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид: 
. Уравнение волны можно записать и в другом виде. Введем волновое число 
, или в векторной форме:
|
 , |
(5.2.5) |
где 
– волновой вектор, 
– нормаль к волновой поверхности. Так как 
, то 
. Отсюда 
. Тогда уравнение плоской волны запишется так:
|
 . |
(5.2.6) |
Уравнение сферической волны В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической. Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. 
). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу 
. Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону 
. Следовательно, уравнение сферической волны:
|
 , или  , |
(5.2.7) |
где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице. Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при 
, амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний 
, следует из рассмотрения энергии, переносимой волной
кондиционеры, ремонт.
23.02.2012
