Главная - Статьи - Свободные колебания в электрическом контуре без активного сопротивления

Свободные колебания в электрическом контуре без активного сопротивления

В цепи, содержащей индуктивность L и ёмкость С, могут возникать электрические колебания. Такая цепь называется колебательным контуром (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Колебания в контуре можно вызвать либо зарядив конденсатор, либо вызвав в индуктивности ток (например включив магнитное поле).
Поскольку активное сопротивление контура , полная энергия остаётся постоянной. Если энергия конденсатора равна нулю, то энергия магнитного поля максимальна, и наоборот. Рассмотрим процессы, происходящие в колебательном контуре, в сравнении с колебаниями маятника (рис. 4.2).
Рис. 4.2
Из сопоставления электрических и механических колебаний (рис. 4.2) следует, что энергия электрического поля аналогична потенциальной энергии mgh или 1/2kx2, а энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии ; L играет роль массы т, 1/С – роль коэффициента жесткости k. Наконец, заряду q соответствует смещение маятника из положения равновесия х, силе тока I – скорость υ, а напряжению U – ускорение а.
Ниже мы увидим, что эта аналогия сохраняется и в математических уравнениях. В соответствии со вторым законом Кирхгофа (и законом сохранения энергии), можно записать:
.
(4.2.1)
Но, т.к. тогда получим .
Введем обозначение: – собственная частота контура, отсюда получим основное уравнение колебаний в контуре:
.
(4.2.2)
Решением этого уравнения является выражение вида
.
(4.2.3)
Таким образом, заряд на обкладке конденсатора изменяется по гармоническому закону с собственной частотой контура ω0.
Для периода колебаний справедлива формула Томсона:
,
.
(4.2.4)
Продифференцируем (4.2.3) по времени и получим выражение для тока:
.
(4.2.5)
Напряжение на конденсаторе отличается от заряда на 1/С:
.
(4.2.6)
Таким образом, ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе на π/2. На индуктивности, наоборот, напряжение опережает ток на π/2.
,
(4.2.7)
где – волновое сопротивление [Ом].
Выражение (4.2.7) – это закон Ома для колебательного контура.

23.02.2012